Kumpulan meteri PROBABILITAS DAN STATISTIKA

BAB I 

Pengertian probabilitas dan statistika

A.      Pengertian Probabilitas

Probabilitas adalah suatu nilai yang digunakan untuk mengukur tingkat terjadinya suatu kejadian yang acak. Kata probabilitas itu sendiri sering disebut dengan peluang atau kemungkinan. Probabilitas secara umum merupakan peluang bahwa sesuatu akan terjadi.

Konsep probabilitas memiliki peranan yang penting dalam kehidupan sehari-hari, mulai dari bidang ilmiah, bidang pemerintahan, bidang usaha atau industri, sampai pada masalah-masalah kecil seperti masuk kantor atau tidak karena awan tebal yang kemungkinan akan hujan deras dan banjir.

Dalam mempelajari probabilitas, ada tiga kata kunci yang harus diketahui yaitu eksperimen, hasil (outcome) dan kejadian atau peristiwa (even). Sebagai contoh, sebuah eksperiman dilakukan dengan menanyakan kepada 100 orang pembaca, apakah mereka akan mengambil mata kuliah statistik atau kalkulus. Dari eksperimen ini akan terdapat beberapa kemungkinan hasil. Contohnya kemungkinan hasil pertama ialah sebanyak 58 orang akan mengambil mata kuliah apapun. Kemungkinan hasil lain adalah bahwa 75 orang mengambil mata kuliah kalkulus dan sisanya mengambil mata kuliah statistik. Contoh lain dari eksperimen adalah pelemparan sebuah dadu. Hasil (outcome) dari pelemparan sebuah dadu tersebut kemungkian akan keluar biji satu atau biji dua atau biji tiga dan seterusnya. Kumpulan dari beberapa hasil tersebut dikenal sebagai kejadian (even).

Probabilitas biasanya dinyatakan dengan bilangan desimal (seperti 0,50, 0,20 atau 0,89) atau bilangan pecahan seperti 5/100, 20/100, 75/100. Nilai dari probabilitas berkisar antara 0 sampai dengan 1. Jika semakin dekat nilai probabilitas ke nilai 0, maka semakin kecil juga kemungkinan suatu kejadian akan terjadi. Jika semakin dekat nilai probabilitas ke nilai 1, maka semakin besar peluang suatu kejadian akan terjadi.

B.      Pengerian Statistika

Statistika adalah Ilmu yang berurusan dengan pengumpulan, penyajian dan analisis data untuk menarik kesimpulan dan memanfaatkannya dalam menentukan keputusan pada keadaan tidak pasti.

 Sedangkan pengertian statistika menurut para ahli adalah sebagai berikut:

1)      Menurut Kendal dan Stuart

Pengertian Statistika adalah cabang dari metode ilmiah yang berhubungan dengan pengumpulan data yang dikumpulkan dengan mencacah atau mengukur sifat-sifat dari populasi.

2)      menurut Mood, Graybill dan Boes

Statistika adalah teknologi dari metode ilmiah. Mereka juga menambahkan bahwa statistika berhubungan dengan rancangan percobaan dan penyelidikan, dan penarikan kesimpulan statistik.

3)      menurut Modenhall

Statistika ialah suatu bidang sains yang berkaitan dengan ekstraksi informasi dari data numerik dan menggunakannya untuk membuat keputusan tentang populasi dari mana data tersebut diperoleh.

Tujuan dari statistika adalah untuk membuat kesimpulan mengenai suatu yang lebih luas (populasi) berdasarkan keterangan yang ada pada sebagian contoh (sampel) yang diambil dari populasi.

Sedangkan Teori statistika adalah suatu teori informasi yang berhubungan dengan pengangkaan informasi, menentukan percobaan atau prosedur untuk pengumpulan data, dengan pengeluaran biaya yang minimal, dari sejumlah informasi tertentu dan menggunakan informasi ini untuk membuat kesimpulan-kesimpulan. Pembuatan kesimpulan terhadap populasi yang tidak diketahui ialah prosedur yang terdiri atas dua langkah. Langkah pertama yaitu kita menentukan prosedur-prosedur penarikan kesimpulan yang cocok dari situasi yang dihadapi dan langkah kedua yaitu kita mencari ukuran kecocokan dari kesimpulan yang dihasilkan.

Jadi data atau inforrmasi merupakan bagian yang sangat penting dalam menggunakan statistik sebagai alat untuk mengambil keputusan. Demikian juga sebaliknya, statistika adalah salah satu alat yang dapat dipergunakan untuk memanfaatkan data (informasi) sebagai bahan pengambilan keputusan. Selain karena menggunakan informasi atau data sebagai landasan pengambilan keputusan, pengambilan keputusan dengan statistika juga memiliki keunggulan lain yaitu statistika juga memberikan ukuran kecocokan atau ukuran kesalahan dari kesimpulan yang dibuat.

C.      Mengapa Statistika Dibutuhkan?

Pada era globalisasi ini, informasi menjadi basis intelektual di masyarakat dan hampir semua kegiatan manusia bersumber pada informasi. Kebutuhan informasi data semakin meningkat untuk keperluan analisis dan dalam pembuatan keputusan baik didunia penelitian maupun pengembangan bisnis, industri, serta lembanga lainnya.

Statistika sebagai bagian dari ilmu pengetahuan analisis data berkembang sangat cepat dan telah masuk diberbagai penerapan bidang ilmu pengetahuan dan teknologi. Pengembangan satatistika didukung oleh pengembangan teknologi informasi dengan perangkat lunak statistika berupa berbagai paket statistika dalam personal komputer.

Penggunaan statistika dalam dunia industri meningkat secara cepat terutama dipicu dengan dikeluarkannya sistem kualitas yaitu pada ISO 9000 pada tahun 1987 sebagai standar kualitas internasional Indonesia mengadopsi sistem kualitas ISO 9000 dan memberi nama Standar Nasional Indonesia (SNI)19-9000-1992. Dengan adanya Klausul dalam ISO 1900 tentang peningkatan kualitas secara terus meneru, maka semua lembaga atau industri yang menerapakan ISO 1900 atau menejemen kualitas harus meneerapkan metode statistika sebagai metode yang direkomendasi kan.

Undang-Undang Nomor 16 tahun 1997 mengamatkan bahwa statistika  adalah sangat penting artinya bagi perencanaan, pelaksanaan, pemantauaan, dan evaluasi penyelenggaraan berbagai kegiatan disegenap aspek kehisupan bermasyarakat, berbangsa, dan bernegara dalam pembangunannasional.

Peran statistika semakin menjadi penting akibat dorongan dari beberapa faktor pengembangan masyarakat antara lain sebagai berikut:

1. Meningkatkan kesejahteraan masyarakat menyebabkan data statistika yang dibutuhakan semakin beragam.
2. Kemajuan ilmu pengetahuan dan teknologi informasi yang berdampak terhadap pengembangan metode, cara analisis , dan pemrosesan data sehingga bentuk pengajian data menjaadi suatu informasi yang berguna.
3. Munculnya globalisasi yang ditandai dengan meningkatnya persaingan global.

BAB II

Pengolahan Data dan Penyajian

A.      Jenis-jenis Data

Data adalah sekumpulan informasi yang diperoleh dari suatu pengamatan atau penelitian. Bentuk data adalah sebagai berikut :

1. Data Kuantitatif, yaitu data yang berupa angka dan diperoleh dari hasil pengukuran. Contoh : umur siswa kelas 3 SMP, berat badan siswa kelas 3 SMP dan lain-lain.
2. Data kuantitatif, yaitu data yang berhubungan dengan kategori/karakteristik (berupa kata-kata), biasanya diperoleh dari hasil wawancara. Contoh : data tentang makanan kesukaan, suku bangsa, dan lain-lain.

1.      Menurut cara memperolehnya :

• Data primer yaitu data yang dikumpulkan dan diolah sendiri atau seorang atau suatu organisasi langsung dari obyeknya. Contoh : Mewawancarai langsung penonton bioskop 21 untuk meneliti preferensi konsumen bioskop.
• Data sekunder yaitu data yang didapat tidak secara langsung dari objek penelitian. Peneliti mendapatkan data yang sudah jadi yang dikumpulkan oleh pihak lain dengan berbagai cara atau metode baik secara komersial maupun non komersial. Contohnya adalah pada peneliti yang menggunakan data statistik hasil riset dari surat kabar atau majalah.

2.      Menurut sumbernya :

• Data internal adalah data yang menggambarkan keadaan atau kegiatan dalam suatu organisasi. Misal : data keuangan, data pegawai, data produksi, dsb.
• Data eksternal yaitu data yang menggambarkan suatu keadaan atau kegiatan di luar suatu organisasi. Contohnya adalah data jumlah penggunaan suatu produk pada konsumen, tingkat preferensi pelanggan, persebaran penduduk, dan lain sebagainya.

3.      Menurut sifatnya :

• Data kualitatif adalah data yang bukan dalam bentuk angka
• Data kuantitatif adalah data dalam bentuk angka

4.      Menurut waktu pengumpulannya :

• Cross section / insidentil adalah dikumpulkan pada suatu waktu tertentu.  Contohnya laporan keuangan per 31 desember 2006, data pelanggan PT. Angin Ribut bulan mei 2004, dan lain sebagainya.
• Data berkala / time series data adalah data yang dikumpulkan dari waktu ke waktu untuk menggambarkan suatu perkembangan atau kecenderungan karena keadaan/ peristiwa/ kegiatan. Contoh data time series adalah data perkembangan nilai tukar dollar amerika terhadap euro eropa dari tahun 2004 sampai 2006, jumlah pengikut jamaah nurdin m. top dan doktor azahari dari bulan ke bulan, dll.

5.      Menurut skala pengukuran data

·         Data dikotomi

Data dikotomi sering juga di sebut sebagai data deskrit, data kategorik atau data nominal. Data ini merupakan hasil perhitungan, sehingga tidak dijumpai bilangan pecahan. Data dikotomi adalah data yang paling sederhana yang disusun menurut jenisnya atau kategorinya. Bila kita telah memberikan nama kepada sesuatu berarti kita telah menentukan jenis atau kategorinya menurut pengukuran kita. Dalam data dikotomi setiap data dikelompokan menurut kategorinya dan diberi angka. Angka-angka tersebut hanyalah label belaka, bukan menunjukan tingkatan (ranking). Dasar dalam menyusun kategori data tidak boleh tumpang tindih (mutually exclusive). Kalau kita melakukan kategori secara alamiahnya, maka disebut data diktonomi sebenarnya (true dicthomi) dan jika kategorinya dibuat-buat sendiri (direkayasa), maka disebut dikotomi dibuat-buat (artifical Dichotomi).

Contoh dari data dikotomi sebenarnya antara lain adalah: jenis kelamin umpamanya ada tiga yaitu laki-laki diberi angka 1, banci diberi angka 2 dan perempuan diberi angka 3. Anka 3 pada wanita bukan berarti kekutan wanita sama dengan tiga kali laki-laki. Demikian pula bansi sama dengan dua laki-laki. Tetapi seperti disebutkan tadi bahwa angka-angka tersebut hanyalah label belaka. Banyak contoh-contoh data dikotomi sebenarnya ini seperti macam warna kulit, suku bangsa, bahasa daerah, dan sebagainya.

Data dikotomi dibuat-buat apabila data itu mempunyai katergorik mutlak atau alamiah seperti di atas tadi, oleh sebab itu data tersebut  masih dapat diubah-ubah jika memang dikehendaki. Sebagai contoh: tidak lulus diberi angka 1 dan lulus diberi angka 2. Tetapi jika yang tidak lulus ingin kita ubah menjadi lulus, maka kita dapat saja mengadakan ujian ulangan. Seperti dengan uraian di atas tadi bahwa pemberian angka pada data dikotomi ini hanyalah label belaka. Bukan berarti yang tidak lulus bodohnya dua kali yang lulus.

Data dikotomi ini mempunyai sifat-sifat ekskuisif, tidak mempunyai urutan (ranking), tidak mempunyai ukuran baru, dan tidak mempunyai nol mutlak.

·         Data Kontinum

Data kontinum terdiri atas tiga macam data yaitu: data ordinal, data interval, dan data rasio. Ketiga macam data-data  tersebut diuraikan  seperti berikut ini:

1.      Data Ordinal

Data ordinal ialah data yang sudah diurutkan dari jenjang yang paling rendah sampai ke jenjang yang paling tinggi, atau sebalikntya tergantung peringkat selera pengukuran yang subjektif terhadap objek tertentu. Kita dapat menyatakan bahwa saya lebih suka jeruk A daripada Jeruk B meskipun sama-sama tergolong jenis jeruk. Selanjutnya jeruk B kita beri bobot 1 dan jeruk A kita beri bobot 2. Pembobotan biasanya merupakan urutannya. Oleh sebab itu, data ordinal disebut juga sebagai data berurutan, data berjenjang, data berpangkat, data tata jenjang, data ranks, dan data petala, data bertangga atau data bertingkat. Pemberian jenjang tersebut pada umumnya dapat dilakukan  sebagai berikut:

Mula-mula kita urutkan data itu mulai dari data yang terendah sampai data yang tertinggi. Demikian pula sebaliknya. Kemudian berilah angka 1 untuk yang tertinggi, angka 2 pada yang berada di bawahnya dan seterusnya.

Sebagai contoh:

1)      dalam suatu pertandingan angkat besi, baka didapatkan data berjenjang sebagai berikut:

· Juara 1 mampu mengangkat 400 Kg

· Juara 2 mampu mengangkat 390 Kg

· Juara 3 mampu mengangkat 325 Kg

· Juara 4 mampu mengangkat 200 Kg

Contoh-contoh data ordinal lainnya adalah: golongan gaji, pangkat, pendidikan mulai Taman Kanak-kanak sampai Perguruan Tinggi, status sosial (tinggi, menengah, dan rendah), Daftar Urutan kepegawaian (DUK), dan sebagainya. Data ordinal ini lebih tinggi kedudukannya dibandingkan dengan data nominal. Dalam dunia pendidikan, dapat diberikan contoh sebagai berikut:

Ketika akan diadakan ujian, para peserta diberikan nomor ujiannya masing-masing. Penomoran terhadap semua peserta disebut peserta yang masuk nominasi. Kemudian proses ujian berlangsung. Akhirnya diadakan pengumuman peserta yang mendapat ranking tertinggi (nomor 1,2, dan 3) dan seterusnya.

Berdasarkan contoh ini, maka jelaslah bahwa penomoran ketika sebelum ujian yaitu nomor ujiannya hanyalah label belaka. Peserta nomor ujiannya mendapat nomor 1, belum tentu mendapat ranking 1, dan seterusnya. Bisa saja yang nomor ujiannya yang bukan nomor 1 mendapat ranking 1. Ranking tersebut tentu saja sangat ditentukan oleh banyaknya soal ujian yang dapat dijawab dengan benar, sehingga didapat nilai yang lebih tinggi.

Data ordinal bersifat ekskuisif, mempunyai urutan, tidak mempunyai ukuran baru, dan tidak mempunyai nilai nol mutlak.

2.      Data Interval

Data interval mempunyai sifat-sifat nominal dari data ordinal. Di samping itu ada sifat tambahan lainnya pada data interval yaitu mempunyai nol mutlak. Akibatnya ia mempunyai skala interval yang sama jaraknya. Pengukuran data interval tidak memberikan jumlah yang absolut dari objek yang diukur. Contohnya adalah sebagai berikut: Dalam Indeks Prestasi Kumulatif (IPK) mahasiswa dikenal standar-standar penilaian sebagai berikut:

A = 4, B = 3, C = 2, dan D = 1.

IPK A = 2, IPK B = 3, IPK C = 2, dan IPK D = 1

Interval antara A dengan B = 4 - 1 = 3

Interval antara B dengan C = 3 - 2 = 1

Interval antara C dengan D = 2 - 1 = 1

Interval antara A dengan C = 4 - 2 = 2

Interval antara B dengan D = 3 - 1 = 2

Interval antara A dengan D = 4 - 1 = 3

Jadi data interval dapat ditambah maupun dikurangkan. Walaupun demikian, tidak dapat disimpulkan bahwa kepandaian atau keberhasilan A adalah empat kali keberhasilan B. demikian pula tidak dapat disimpulkan bahwa keberhasilan A adalah dua kali B atai tiga kali C.

Contoh-contoh lainnya dari data interval adalah: persepsi, tanggapan, dan sebagainya. Dalam penelitian sosial data interval paling banyak digunakan.

Data interval bersifat Ekskuisif, mempunyai urutan, mempunyai ukuran baru, tetapi tidak mempunyai nilai nol mutlak.

3.      Data Rasio  

D

Data rasio mengandung sifat-sifat interval, dan selain itu ia mempunyai nilai nol mutlak. Contoh dari data rasio di antaranya adalah: berat badan, tinggi, panjang, atau jarak. Misalnya kita mempunyai data panjang A = 10 m, B = 20 m, C = 30 m, dan D = 40 m. dapat disimpulkan bahwa D = 4 x A atau 2 x B. Panjang B dapat disebut sebagai 2 X A atau 1/2 x D, dan seterusnya. Data rasio ini sering dipakai dalam penelitian keilmuan atau enjinering. Karena data rasio, ordinal, dan interval merupakan hasil pengukuran, maka pada ketiga data tersebut ditemui adanya bilangan pecahan. Data rasio bersifat ekskuisif, mempunyai urutan, mempunyai ukuran baru, dan mempunyai nol mutlak.

Pengumpulan data dapat dilakukan dengan cara sebagai berikut :

1. Observasi (pengamatan langsung)
2. Angket (kuisioner)
3. Interview (wawancara)
4. Membaca buku pengetahuan (literatur)

B.      Pengolahan Data, Metode Pengolahan Data, dan Langkah-langkah Pengolahan Data

·         Pengolahan data

Pengolahan data adalah Pengolahan data merupakan suatu proses untuk memperoleh data/angka ringkasan berdasarkan kelompok data mentah dan mengubah bentuk danmakna data menjadi informasi yang bermanfaat dan dapat digunakandalam mendukung berbagai proses dalam pengelolaan perusahaantermasuk dalam pengambilan keputusan. Peranan informasi biasanyadigunakan dalam pengambilan keputusan pada penentuan tujuan dan berbagai sasaran perusahaan jangka panjang maupun pendek, keputusan penyusunan strategi oleh manajemen puncak, keputusan pada strategioperasioanal serta pemilihan tipe dan struktur organisasi.

Apadun tujuan dari pengolahan data ini adalah  untuk mendapatkan data statistik yang dapat digunakan untuk melihat atau menjawab persoalan secara kelompok, bukan satu persatu

·         Metode pengolahan data

Adapun Metode Pengolahn Data bisa di gunakna sebagai berikut:

1.      Pengolahan data secara manual

Pengolahn data secara manual Umumnya digunakan  untuk jumlah observasi yang tidak terlalu banyak.

Contoh :penghitungan suara di TPS ketika pemilu

2. Pengolahan data secara elektronik

Pengolahn data secara elektronik umumnya digunakan untuk jumlah observasi yang jumlahnya banyak. Jika pengolahan data secara manual kemungkinan terjadinya kesalahan sangat besar, maka dengan pengolahan data secara elektronik dapat meminimalkan kesalahan tersebut.

Contohnya :Penghitungan suara pada TPS

·         Langkah-Langkah penyajian Data

1.      Penyusunan data

Pengusunan Data adalah cara untuk mengumpulkan dan mengecek apakah semua data yang dibutuhkan sudah tersedia

2.      Klasifikasi data

Klasifikasi data merupakan mengelompokkan data berdasarkan klasifikasi tertentu yang telah ditentukan peneliti

3.      Pengolahan data

Pengolahn data dilakukan untuk menguji hipotesis yang telah dirumuskan.

C.      Penyajian Data

Penyajian data dapat dilakukan dengan berbagai cara, diantaranya adalah :

1.      Diagram garis

2.      Diagram batang

3.      Diagram lingkaran

1.      Diagram garis

Diagram garis adalah grafik berupa garis, diperoleh dari beberapa ruas garis yang menghubungkan titik-titik pada bidang bilangan. Pada grafik garis digunakan dua garis yang saling berpotongan. Pada garis horizontal (sumbu-X) ditempatkan bilangan-bilangan yang sifatnya tetap, seperti tahun dan ukuran-ukuran. Pada garis tegak (sumbu-Y) ditempatkan bilangan-bilangan yang sifatnya berubah-ubah.
Contohnya

·         perkembangan volume jumlah kendaraan yang melintasi jalan A dalam kurun waktu pukul 0.00 s/d 19.12.

·         Sebuah perusahaan yang memproduksi barang elektronik mencatat akumulasi biaya produksi tahunan dan akumulasi nilai penjualan selama sepuluh tahun dari tahun 1995 sampai dengan 2004 sebagai berikut (dalam jutaan rupiah).

2.      Diagram batang

Diagram batang biasanya digunakan untuk menggambarkan data diskrit (data cacahan). Diagram batang adalah bentuk penyajian data statistik dalam bentuk batang yang dicatat dalam interval tertentu pada bidang cartesius.

Contoh:

Selama 1 tahun, toko "Anggo" mencatat keuntungan setiap bulan sebagai berikut.

Untung	2,5	1,8	2,6	4,2	3,5	3,3	4,0	5,0	2,0	4,2	6,2	6,2
Bulan	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12

3.      Diagram Lingkaran

Diagram lingkaran merupaka sebuah diagram yang penyajian datanya menggunakan lingkaran sebagai gambarnya. Biasanya data yang disajikan dalam diagram lingkarang berupa persen data. Dalam pembuatan diagram lingkaran, hal pertama yang harus anda lakukan adalah menentukan besaran presentase tiap objek terhadap keseluruhan data dan besarnya sudut pusat sektor lingkaran.

Contoh:

banyak buku pelajaran yang ada di perpustakaan. Jika semua buku pelajaran yang ada di perpustakaan berjumlah 200 buku, maka kita dapat menentukan banyaknya buku-buku pelajaran tiap mata pelajaran yaitu sebagai berikut :

Banyak buku	Persent (%)	Frekuensi
Ppkn 200	10%	20
Ipa 200	25%	50
Bhs ind 200	15%	30
Matemtika 200	30%	60

Jawab:

BAB III

DISTRIBUSI FREKUENSI

A.      Distribusi frekunsi dan Jenis Distribusi Frekunsi

Distribusi frekuensi adalah pengelompokkan data kedalam beberapa kelompok (kelas) dan kemudian dihitung banyaknya data yang masuk kedalam setiap kelas.

Distribusi frekuensi memiliki jenis-jenis yang berbeda untuk setiap kriterianya. Berdasarkan kriteria tersebut, distribusi frekuensi dapat dibedakan tiga jenis (Hasan, 2001):

1. Distribusi frekuensi biasa 

Distribusi frekuensi yang berisikan jumlah frekuensi dari setiap kelompok data. Distribusi frekuensi ada dua jenis yaitu distribusi frekuensi numerik dan distribusi frekuensi peristiwa atau kategori.

2. Distribusi frekuensi relatif 

Distribusi frekuensi yang berisikan nilai-nilai hasil bagi antara frekuensi kelas dan jumlah pengamatan. Distribusi frekuensi relatif menyatakan proporsi data yang berada pada suatu kelas interval, distribusi frekuensi relatif pada suatu kelas didapatkan dengan cara membagi frekuensi dengan total data yang ada dari pengamatan atau observasi.

3. Distribusi frekuensi kumulatif 

Distribusi frekuensi yang berisikan frekuensi kumulatif (frekuensi yang dijumlahkan). Distribusi frekuensi kumulatif memiliki kurva yang disebut ogif. Ada dua macam distribusi frekuensi kumulatif yaitu distribusi frekuensi kumulatih kurang dari dan distribusi frekuensi lebih dari.

Contohnya adalah data hasil nilai pengerjaan tugas Matematika dari 40 siswa berikut ini.

66 75 74 72 79 78 75 75 79 71
75 76 74 73 71 72 74 74 71 70
74 77 73 73 70 74 72 72 80 70
73 67 72 72 75 74 74 68 69 80

dari data diatas, dapat dibuat tabel distribusi frekuensi sbb:

Istilah-istilah yang banyak digunakan dalam pembahasan distribusi frekuensi bergolong atau distribusi frekuensi berkelompok antara lain sebagai berikut.

a. Interval Kelas
b. Batas Kelas
c. Tepi Kelas (Batas Nyata Kelas)
d. Lebar kelas
e. Titik Tengah

Dari tabel di atas dapat dibuat daftar frekuensi kumulatif kurang dari dan lebih dari seperti berikut.

B.      Histogram , poligon dan Ogive

Histogram adalah Data yang telah disusun dalam bentuk tabel distribusi frekuensi dapat disajikan dalam bentuk diagram.

Apabila titik-titik tengah sisi atas dari histogram dihubungkan satu sama lain oleh ruas-ruas garis maka diperoleh poligon frekuensi

Ogive adalah grafik yang digambarkan berdasarkan data yang sudah disusun dalam bentuk tabel distribusi frekuensi kumulatif.

Contoh histrogram dan poligon

Ogive

BAB IV

Ukuran Pemusatan Data dan Ukuran Letak Data

A.      Ukuran Pemusatan Data

Ukuran pemusatan disebut juga rata-rata (average) menunjukkan dimana suatu data memusat atau suatu kumpulan pengamatan memusat (mengelompok)

Ukuran statistik yang menyatakan bahwa satu nilai yang dapat mewakili keseluruhan distribusi nilai yang sedang diteliti.

1.      Rataan (Mean)

Mean atau rata-rata hitung adalah nilai yang diperoleh dari jumlah sekelompok data dibagi dengan banyaknya data. Rata-rata disimbolkan dengan x.

• Rata-Rata untuk Data Tunggal

Keterangan:
ẋ = mean

n = banyaknya data

x_i= nilai data ke-i

Contoh: Contoh Rataan Data tunggal

Nilai ulangan matematika 15 siswa kelas XIIPAadalah 7,8,6,4,10, 5,9,7, 3,8, 6, 5, 8, 9, dan 7. Tentukan nilai rata-ratanya.

Jawab:

Jadi, nilai rata-ratanya adlah 6,8

• Rata-Rata untuk Data Bergolong (Berkelompok)

Keterangan:
x_i = nilai tengah data ke-i

f_i = frekuesni data ke –i

x_s = rataan sementara (dipilih pada interval dengan frekuensi terbesar)

d_i = simpangan ke-i (selisih nilai x_i dengan nilai x_s)Contoh Rataan Data berkelompok

Tentukan rata-rata dari data berikut.

Nilai	Frekuensi
11 - 15	4
16 - 20	5
21 - 25	8
26 - 30	8
31 - 35	4
36 - 40	2

Jawab:

Nilai	Xi	F i	Fi . Xi
11 – 15	13	4	52
16 – 20	18	5	90
21 – 25	23	8	161
26 – 30	28	8	224
31 – 35	33	4	132
36 – 40	38	2	76
Jumlah		30	735

Penyelesaian:

2.      Median

Median adalah nilai data yang terletak di tengah setelah data diurutkan. Dengan demikian, median membagi data menjadi dua bagian yang sama besar. Median (nilai tengah) disimbolkan dengan Me.

• Median untuk Data Tunggal

1. Jika banyaknya data n ganjil maka median

 

2. Jika banyaknya n genap maka

Contoh median tunggal

Tentukan median dari data berikut.

1. 8,6,4,3,7,5,8,10,8,9,8,5

Nilai	3,4,5,6,7,8,9
Frekuensi	2,5,7,8,10,5,4

Jawab:

1. Data diurutkan : 3 4 5 5 6 7 8 8 8 8 9 10
   N= 12 (genap)

Jadi, mediannya adlah 7,5

2. n = 41 (ganjil)

• Median untuk data berkelompok

Keterangan:
Me = median

Tb = tepi bawah kelas median

p = panjang kelas

n = banyak data

F = frekuensi kumulatif sebelum kelas median

f = frekuensi kelas median

Contoh berkelompokContoh Median Data Bergolong

Tentukan median dari data berikut.

Data	Frekuensi
11-20	5
21-30	3
31-40	8
41-50	7
51-60	4
61-70	9
Jumlah	36

Jawab:

Karena banyaknya data adlah 36 maka median terletak diantara data ke-18 dan data ke-19 sehingga diperoleh kelas yang mengandung median adalah 4-40. Dengan demikian , Tb = 41-0,5 = 40,5; p=10 (11-20); f =7; F= 16.

Data	F	fk
11-20	5	5
21-30	3	8
31-40	8	16
41-50	7	23
51-60	4	27
61-70	9	36

Penyelesaian:

Jadi, mediannya adlah 43,36

3.      Modus

Modus adalah data yang paling sering muncul.

• Modus untuk data tunggal

Modus dari data tunggal adalah data yang paling sering muncul.

Contoh data tunggal

Tentukan modus dari data : 7 6 5 8 3 7 9 4 6 4 8 4 10 7 5 7 8.

Jawab:

Data diurutkan: 3 4 4 4 5 5 6 6 7 7 7 7 8 8 8 9 10.
Nilai 7 muncul paling banyak, yaitu 4 kali.
Jadi, modusnya adalah 7.

• Modus untuk data berkelompok

Keterangan :
Mo : modus

Tb : tepi bawah kelas modus

p : panjang kelas

d₁ : selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya
d₂ : selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya

contoh data berkelompokContoh Modus Data Bergolong

Tentukan modus dari data berikut

Data	Frekuensi
11-20	5
21-30	3
31-40	8
41-50	7
51-60	4
61-70	9
Jumlah	36

Jawab:

Karena kelas dengan frekuensi terbanyak 9 maka modus terletak diantara kelas 51-60; tb=51-0,5=50,5; p=10(11-20); d_i=9-4=5; F=16.

Penyelesaian:

Jadi, modusnya adalah 53,36

B.      Ukuran Letak Data

Selain ukuran pemusatan data, ada juga ukuran letak data yang masih merupakan salah satu pengukuran data dalam statiska. Jika pada ukuran pemusatan data terdapat median, mean dan modus. Pada ukuran letak data terdapat kuartil, desil dan persentil. Untuk menentukan nilai ukuran letak data.

1.      Kuartil

Kuartil adalah nilai yang membagi suatu data terurut menjadi empat bagian yang sama. Kuartil dialmbangkan dengan Q . Jenis kuartil ada 3, yaitu kuartil pertama (Q₁) , kuartil kedua (Q₂), dan kuartil ketiga (Q₃).

·         Kuartil untuk Data Tunggal

Keterangan :

Q₁ = kuartike ke-i

n = banyaknya data

contoh kuartil data tunggal

Tentukan Q₁ , Q₂ dan Q₃ dari data : 7 3 8 5 9 4 8 3 10 2 7 6 8 7 2 6 9

Jawab :

Data terurut : 2 2 3 3 4 5 6 6 7 7 7 8 8 8 9 9 10

n = 17

  

·         Kuartil untuk data Bergolong (Berkelompok)

Menentukan letak kuartil untuk data berkelompok

Keterangan :
Q_i = kuartil ke-i

Tb = tepi bawah kelas kuartil

p = panjang kelas

n = banyak data

F = frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil

f = frekuensi kelas kuartil

becontoh data berkelompokSoal Kuartil Data Bergolong

Tentukan Q_i dari data berikut:

Jawab :

                   

2.      Desil

Desil merupakan nilai yang membagi data menjadi sepuluh bagian sama besar. Desil sering dilambangkan dengan D. jenis ada 6, yairu D₁ , D₂ , D₃, ….,…,…,D₉.

·         Desil untuk data tunggal

Keterangan :
D_i = desilk e-i

n = banyaknya data

contoh data tunggal Soal Desil Data Tunggal

Tentukan desil ke-8 dari data : 6 3 8 9 5 9 9 7 5 7 4 5 8 3 7 6.

Jawab:

n = 16

data terurut = 3 3 4 5 5 5 6 6 7 7 7 8 8 9 9 9.

·         Desil untuk data Bergolong ( berkelompok)

Menentukan letak desil untuk data berkelompok

Keterangan :
D₁ = desil ke-i

Tb = tepi bawah kelas kuartil

p = panjang kelas

n = banyak data

F = frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil

f = frekuensi kelas kuartil

contoh data berkelompokContoh Soal Desil Data Bergol

Tentukan nilai D₆ dari data berikut

 

Jawab:

 

Jadi, nilai D₆ adalah 21,9

3.      Persentil

Persentil merupakan nilai yang membagi data menjadi serratus bagian sama besar. Persentil sering dilambangakan dengan P. jenis persentil ada 99, yaitu P₁, P₂, P₃ … P₉₉.

·         Data tunggal

Keterangan :
P_i = pesentil ke-i

n = banyaknya data

contoh data tunggalContoh Soal Persentil Data Tunggal

Tentukan persentil ke-65 dari data : 6 5 8 7 9 4 5 8 4 7 8 5 8 4 5.

Jawab:

n = 15

data terurut : 4 4 4 5 5 5 5 6 7 7 8 8 8 8 9.

Jadi, nilai persentil ke-65 adalah 7 4.

·         Data bergolong (Berkelompok)

Menetukan letak persentil untuk data berkelompok

Keterangan :

P_i = persentil ke-i

Tb = tepi bawah kelas persentil

p = panjang kelas

n = banyak data

F = frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil

f = frekuensi kelas persentil

contoh data berkelompokkelompok

Tentukan P₃₀ dari data berikut

 

Jawab:

 

BAB V

Dispersi Data, Kemiringan dan Keruncingan Data

A.      Dispersi Data

Dispersi adalah perserakan dari nilai observasi terhadap nilai rata-ratanya.

Beberapa jenis pengukuran Dispersi adalah sebagai berikut:

1. Jangkauan (Range)

2. Simpangan Rata-Rata (Mean Deviation)

3. Varians (Variance)

4. Standar Deviasi

5. Koefisien Variasi

·         Jangkauan (Range)

Jangkauan adalah Selisih antara batas atas dari kelas tertinggi dengan batas bawah dari kelas terendah. Dengan rumus

Range = Xn - X1

Contoh : sepuluh pegawai Stikes Jombang, gaji masing-masing tiap bulanya dalam ribuan rupiah adalah 50 75 150 170 175 190 200 400 600 700 Berapa range gaji pegawai tsb?

Jawab:

Range: 700 – 50 = 650

·         Simpangan rata-rata

Simpangan rata-rata adalah adalah rata-rata hitung dari nilai absolut simpangan yang dirumuskan:

Contoh:

Tentukanlah simpangan rata-rata untuk kelompok data : 20 30 50 70 80!

Jawab:

·         Varians

Untuk data yang berkelompok dan sudah disajikan dalam tabel frekuensi, rumus varians adalah sebagai berikut:

Contoh :

Tentukanlah variansi untuk kelompok data : 20 30 50 70 80!

Jawab:

·         Simpangan Baku (Standard Deviation)

Untuk data yang berkelompok dan sudah disajikan dalam tabel frekuensi, rumus simpangan baku adalah sebagai berikut:

Contoh: Tentukanlah standar deviasi untuk kelompok data : 20 30 50 70 80!

Jawab:

 

·         Koefisien Variasi (Coefficient of Variation)

Koefisien Variasi dapat dirumuskan sebagai berikut:

Contoh :

Hasil ujian dari 120 orang MK Statistik dengan Rata-rata =56 dan Simpangan Baku = 23, MK Matematika dengan Rata-rata = 65 dan Simpangan Baku = 30. Tentukan hasil ujian yang mana yang variansinya lebih besar!

B.      Kemiringan Data

Kemiringan adalah ukuran yang menyatakan derajat ketidak simetrisan suatu lengkungan halus (kurva) dari suatu distribusi frekuensi. Kemiringan distribusi data ada tiga jenis:

•         Simetri

•         Miring ke kanan – kemiringan positif

•         Miring ke kiri – kemiringan negative

Ada beberapa cara untuk menghitung derajat kemiringan data yaitu sebagai berikut :

1.      Rumus Pearson :

2.      Rumus Momen

Untuk data berkelompok :

3.      Rumus Bowley

C.      Keruncingan data

Ukuran keruncingan / kurtosis (k) adalah ukuran mengenai tinggi rendahnya atau runcingnya suatu kurva. Keruncingan distribusi data adalah derajat atau ukuran tinggi rendahnya puncak suatu distribusi data terhadap distribusi normalnya data. Keruncingan distribusi data disebut kurtosis. Ada 3 jenis derajat keruncingan yaitu:

·         Leptokurtis  -- jika puncak relatif tinggi

·          Mesokurtis -- jika puncak normal

·         Platikurtis -- jika puncak  terlalu rendah / datar

Untuk mengetahui keruncingan suatu distribusi, ukuran yang sering   digunakan adalah koefisien kurtosis persentil adalah Koefisien keruncingan.

Koefisien keruncingan atau koefisien kurtosis dilambangkan dengan a₄ (alpha 4).Jika hasil perhitungan koefisien keruncingan diperoleh :

1) Nilai lebih kecil dari 3, maka distribusinya adalah distribusi pletikurtik

2) Nilai lebih besar dari 3, maka distibusinya adalah distribusi leptokurtik

3) Nilai yang sama dengan 3, maka distribusinya adalah distribusi          mesokurtik

Untuk mencari nilai koefisien keruncingan, dibedakan antara data    tunggal dandata kelompok.

1.       Untuk data tunggal

Contoh :

Tentukan keruncingan kurva dari data 2, 3, 6, 8, 11 !

Jawab:

2.      Untuk data kelompok

BAB VI

Analisis Berkala dan Angka Indeks

A.      Analisis Berkala

Analisis Berkala adalah data yang dikumpulkan dari waktu ke waktu untuk menggambarkan suatu perkembangan atau kecenderungan keadaan. Biasanya jarak atau interval dari waktu ke waktu sama.

Data berkala dapat digolongkan kepada empat items:

a)      Gerakan Trend Jangka Panjang

b)      Gerakan Siklis

c)      Gerakan Musiman

d)      Gerakan Acak

a)      Gerakan Trend Jangka Panjang

Gerakan Trend Jangka Panjang Adalah suatu gerakan yang menunjukkan arah perkembangan atau kecenderungan secara umum dari data berkala yang meliputi jangka waktu yang panjang.

b)      Gerakan Siklis

Gerakan Siklis adalah gerakan naik turun di sekitar garis trend dalam jangka panjang.

c)      Gerakan Musiman

Gerakan Musiman Adalah gerakan yang mempunyai pola-pola tetap atau identik dari waktu ke waktu dengan jangka waktu yang kurang dari satu tahun.

d)      Gerakan Acak

Gerakan Acak Adalah gerakan yang bersifat sporadis atau gerakan dengan pola yang tidak teratur.

B.      Angta Indeks

Angka Indeks  (selalu dinyatakan dalam %) merupakan suatu ukuran statistik yang menunjukkan perubahan-perubahan peristiwa yang sama jenisnya yang berhubungan satu sama lain dalam dua waktu yang berbeda.

Membuat angka indeks memerlukan waktu dasar (waktu rujukan) dan waktu yang sedang berjalan (waktu yang bersangkutan).

Akan dibahas empat items:

             i.            Indeks Relatif Harga

           ii.            Indeks Harga Agregatif (Tertimbang dan Tak Tertimbang)

         iii.            Indeks Rata-Rata Harga Relatif

         iv.            Indeks Berantai

·         Indeks relatif harga

Indeks relatif harga dapat di rumuskan sebagai berikut:

Keterangan:
IA = indeks harga yang tidak ditimbang

P_n = harga yang dihitung angka indeksnya

P_o = harga pada tahun dasar

Contoh :

Berdasarkan data di atas, maka angka indeks harga tahun 2004 adalah:  IA = 1.500/1.300 x 100 = 115,38

Jadi, harga tahun 2004 mengalami kenaikan sebesar 15,38%.

·         Indeks Harga Agregatif (Tertimbang dan Tak Tertimbang)

Indeks Harga Agregatif (Tertimbang dan Tak Tertimbang) dapat di rumuskan sebagai berikut:

Keterangan:
IA = indeks harga yang ditimbang

P_n = nilai yang dihitung angka indeksnya

P_o = harga pada tahun dasar

W = faktor penimbang

Contoh penghitungan angka indeks harga dapat kamu lihat pada tabel berikut.

Berdasarkan data di atas, maka angka indeks harga tahun 2004 dapat dihitung dengan cara:

Jadi, pada tahun 2004 terjadi kenaikan harga 10,61%

·         Indeks Rata-Rata Harga Relatif

Indeks Rata-Rata Harga Relatif dapat dirumuskan sebagai berikut :

Contoh :

Jawab :

·         Indeks Berantai

Indeks berantai dapat dirumuskan sebagai berikut:

Contoh:

Menghitung angka indeks tahun 2000 dengan tahun dasar 1999, angka indeks tahun 2001 dengan tahun dasar 2000, dan angka indeks tahun 2002 dengan tahun dasarnya 2001.

Indeks rantai dapat dihitung sebagai berikut.

Indeks tahun 2000 = 500/500 × 100 = 100,00
Indeks tahun 2001 = 600/500 × 100 = 120,00
Indeks tahun 2002 = 700/600 × 100 = 116,67
Indeks tahun 2003 = 800/700 × 100 = 114,29
 Indeks tahun 2004 = 900/800 × 100 = 112,50

BAB VII

Konsep Probabilitas

A.      Probabilitas

Probabilitas adalah Peluang ataupun Kemungkinan suatu nilai yang digunakan untuk mengukur tingkat terjadinya suatu kejadian yang acak

Contoh : pengambilan sampel secara acak 10 mahasiswa dari 200 mahasiswa, terdiri dari 120 laki-laki dan 80 perempuan. Maka hasilnya bisa saja yang terpilih semua laki-laki, semua perempuan, berpasangan, dll.

B.      Hukum Probabilitas

·         Aturan Penjumlahan

                 i.            Peristiwa mutually exclusive

               ii.            Peristiwa non exclusive

·         Aturan Perkalian

                 i.            Peristiwa bersyarat (tidak bebas)

               ii.            Peristiwa tidak bersyarat (bebas)

·         Aturan penjumlahan

Peristiwa Mutually Exclusive, Apabila dua atau lebih peristiwa tidak dapat terjadi bersama-sama “Peristiwa A” atau “Peristiwa B” dapat dituliskan dengan :

Contoh : peluang tertariknya kartu A dan Q dalam satu kali tarikan pada setumpuk kartu remi adalah:

Peristiwa Non Exclusive, Peristiwa dapat terjadi secara bersamaan, jika terdapat 3 Peristiwa dapat diketahui rumusnya:

Pr(A È B È C) = Pr(A) + Pr(B) + Pr(C) – Pr(A Ç B) – Pr(A Ç C) – Pr(B Ç C) + Pr(A Ç B Ç C)

Jika dinyatakan dalam kalimat menjadi Peristiwa A dan B kemungkinan terjadi.

Contoh :

Dua buah dadu dilemparkan bersamaan, apabila :

A = peristiwa mata (4, 4) muncul.

B = peristiwa mata lebih kecil dari (3, 3) muncul.

Tentukan probabilitas P(A atau B) ?

Jawab:

P(A) = 1/36

P(B) = 14/36

P(A Ç B) = 0

P(A atau B) = P(A) + P(B) – P(A Ç B)

= 1/36 + 14/36 – 0

= 0,42

·         Aturan Perkalian

• Aturan Bersyarat (tidak bebas)

Peristiwa A terjadi dengan syarat peristiwa B sudah terjadi  disimbolkan dengan Pr(A|B)

Peristiwa B terjadi dengan syarat peristiwa A sudah terjadi,  disimbolkan dengan Pr(B|A)

Contoh :

Sebuah kotak berisikan 11 bola dengan rincian :

5 buah bola putih bertanda +

1 buah bola putih bertanda –

3 buah bola kuning bertanda +

2 buah bola kuning bertanda –

Seseorang mengambil sebuah bola kuning dari kotak

– Berapa probabilitas bola itu bertanda +?

Jawab:

A = bola kuning

B⁺ = bola bertanda positif

B^– = bola bertanda negatif.

P(A) = 5/11

P(B⁺ Ç A) = 3/11

= 0.6

·         Aturan Tidak Bersyarat (Bebas)

Dua kejadian atau lebih yang tidak saling mempengaruhi

Contoh : pelemparan sebuah dadu, jika A adalah lemparan ke 1 dan B lemparan ke 2, tentukanlah probabilitas munculnya mata dadu 3 dan mata dadu 5?

Jawab:

·         Probabilitas Gabungan

Probabilitas gabungan peritiwa tidak saling bebas adalah probabilitas terjadinya dua atau lebih peristiwa secara berurutan (bersamaan) dan peristiwa-peristiwa itu saling mempengaruhi. Jika dua peristiwa A dan B gubungan, probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah

    P(A dan B) = P(A Ç B) = P(A) x P(B/A)

Jika tiga buah peristiwa A, B, dan C gabungan, probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah

    P(A Ç B Ç C) = P(A) x P(B/A) x P(C/A Ç B)

Contoh :

Dari satu set kartu bridge berturut-turut diambil kartu itu sebanyak 2 kali secara acak. Hitunglah probabilitasnya kartu King (A) pada pengambilan pertama dan As (B) pada pengambilan kedua, jika kartu pada pengambilan pertama tidak dikembalikan !

Jawab:

(A) = pengambilan pertama keluar kartu king.

P(A) = 4/52

(B/A) = pengambilan kedua keluar kartu as

P(B/A) = 4/51

P(A Ç B) = P(A) x P(B/A)

= 4/52 x 4/51

= 0,006

·         Probabilitas Marjinal

Probabilitas marjinal peristiwa tidak saling bebas adalah probabilitas terjadinya suatu peristiwa yang tidak memiliki hubungan dengan terjadinya peristiwa lain dan peristiwa tersebut saling mempengaruhi. Jika dua peristiwa A adalah marjinal, probabilitas terjadinya peristiwa A tersebut adalah

P(A) = S P(B Ç A)

         = SP(A_i) x P(B/A_i), i = 1, 2, 3, …..

Contoh :

¡  Sebuah kotak berisikan 11 bola dengan rincian :

5 buah bola putih bertanda +

1 buah bola putih bertanda –

3 buah bola kuning bertanda +

2 buah bola kuning bertanda –

Tentukan probabilitas memperoleh sebuah bola putih !

Jawab :

Misalkan :

A  = bola putih

B⁺ = bola bertanda positif

B^– = bola bertanda negatif

P(B⁺ Ç A) = 5/11

P(B^– Ç  A) = 1/11

P(A) = P(B⁺ Ç A) + P(B^– Ç A)

= 5/11 + 1/11

= 6/11 

C.      Permutasi

Apabila seluruh peristiwa (n) diamati sebanyak r peristiwa dapat dirumuskan dengan

Contoh : berapa banyak permutasi untuk membuat elemen huruf yang setiap elemennya terdiri dari 2 huruf, yang dibuat dari suatu set huruf (x,y,z)

Jika dibuktikan, susunan hurufnya (xy, yx, xz, zx, yz, zy), Untuk permutasi  (xy ≠ yx)

BAB VIII

Distribusi Teoritis

A.      Distribusi Teoritis

Distribusi Teoritis terbagi menjadi:

1.      Variabel Random/acak

2.      Distribusi Probabilitas diskrit

3.      Distribusi probabilitas kontinum

1.      Variabel Random/acak

Setiap Eksperimen memiliki hasil keluaran (outcome) yang bisa bernilai numerik. Variabel acak merupakan variabel yang memiliki nilai numerik tunggal untuk setiap keluaran dari sebuah eksperimen probabilitas. Jadi dapat bernilai angka berapapun tergantung hasil keluaran yang mungkin dihasilkan dari suatu eksperimen. Untuk menyatakan variabel random digunakan sebuah huruf besar, misalkan X. Sedangkan huruf kecilnya, misalkan x, menunjukkan salah satu dari nilainya.

Contoh : S = {BBB, BBC, BCB, CBB, BCC, CBC, CCB, CCC}  dengan B menunjukkan “tanpa cacat (baik)” dan C menunjukkan “cacat”.  Variabel random X yang menyatakan jumlah barang yang cacat pada saat tiga komponen elektronik diuji, maka ditulis X = 0, 1, 2, 3.

Jawab:

P(X=x_n) = p(x_n)

Nilai p(x_n) antara 0 – 1

Jadi ∑p(x_n) = 1

2.      Distribusi Probabilitas diskrit

Contoh Distribusi Probabilitas Diskrit

Misalkan sebuah koin dengan dua sisi yaitu sisi gambar (G) dan sisi angka (A) dilemparkan sebanyak 4 kali berturut-turut. Hasil-hasil yang mungkin terjadi adalah :

Misalkan X adalah jumlah sisi gambar (G) yang muncul.

Nilai X yang mungkin terjadi adalah : 0, 1, 2, 3, 4

Probabilitas dari nilai X adalah :

3.      Distribusi probabilitas kontinu

Suatu daftar/ distribusi dr semua nilai variabel random kontinu dgn probabilitas terjadinya masing-masing nilai tsb. Suatu fungsi f dikatakan erupakan fungsi probabilitas/distribusi probabilitas variabel random kontinu x, jika memenuhi syarat:

Contoh:

1. Usia penduduk suatu daerah.
2. Panjang beberapa helai kain.

Contoh : Diketahui bahwa nilai mahasiswa MA X angkatan 2002/2003 di FKM UI berdistribusi normal dengan nilai rata-rata sebesar 75 dan simpangan baku sebesar 10. Hitunglah probabilitas mahasiswa akan mendapatkan nilai sebagai berikut: Kurang dari 60! Lebih dari 90!

Jawab:

Diketahui: μ = 75 dan σ=10

Ditanya: P(x ≤ 60)=?

Ditanya: P(x ≥ 90)=?

BAB IX

Distribusi Probabilitas Binomial, Poisson dan Hipergiometrik

A.      Distribusi binomial

Distribusi probabilitas digunakan bilamana suatu proses sampling diasumsikan dengan proses Bernoulli.

Rumus distribusi Binomial adalah:

b(x;n,p) = nCx px qn-x dimana x = 0,1,2,3,…,n

n : banyaknya ulangan

x : banyaknya keberhasilan dalam peubah acak x

p : peluang berhasil dalam setiap ulangan

q : peluang gagal, dimana q = 1-p dalam setiap ulangan

contoh : Sebuah mata uang logam dilemparkan sebanyak 8 kali.Berapa peluang muncul gambar sebanyak 5 kali?

Jawab:

Diketahui :
n = 8

x = 5

p = ½

q = 1-p = 1- 1/2 = ½

Ditanya : peluang muncul gambar sebanyak 5 kali
 
 

Jadi, peluang muncul gambar sebanyak 5 kali adalah 7/32

B.      Distribusi Poisson

Distribusi Probabilitas Poisson adalah distribusi yang digunakan untuk pendekatan probabilitas Binomial. Ciri utama dari Distribusi Poisson adalah untuk menghitung peluang jumlah kedatangan, kunjungan pada suatu tempat, menurut satuan waktu.

Rumus distribusi Poisson adalah:

P(R) =[(e^-μ) . (μ^x)]/R!

dimana:

P(R) = Peluang kejadian R yang diharapkan.

e = bilangan dengan nilai 2,718…

μ = rata-rata keberhasilan ( n.P)

x = Jumlah kejadian sesuai sampel.

n = jumlah populasi.

P = peluang keberhasilan.

Contoh:Pada tahun 2012, sebuah kota di pedalaman Watampone, diperoleh data bahwa rata-rata terdapat 2,5 orang albino per 175 orang. 525 orang diambil sebagai sampel percobaan. Dengan menggunakan pendekatan Possion, tentukanlah peluang:

a. Didapat tidak ada yang albino.

b. Terdapat ada albino.

Jawab:

a.

b.      Peluang terdapat albino dari sampel adalah

= 1 – (Peluang tidak ada Albino)

= 1 – 0,00055

= 0,99945

C.      Distribusi Hipergiometrik

Distribusi Hipergeometri merupakan Distribusi peluang perubahan acak hipergeometrik adalah banyaknya sukses (x) dalam sampel acak ukuran n yang diambil dari populasi sebanyak N yang mengandung jumlah sukses sebanyak k.

Rumus Distribusi Hipergiometrik adalah:

 

Contoh :Dalam suatu kotak terdapat 5 bola yang terdiri dari 2 bola Merah, 2 bola Biru dan 1 buah Putih. Berapa peluang terambil 2 bola Merah, dari 4 kali  pengambilan yang dilakukan secara  acak tanpapemulihan?

Jawab:

BAB X

Distribusi Normal

A.Pengertian , Bentuk , dan Penerapan Distribusi normal

Distribusi normal atau distribusi gauss adalah distribusi probabilitas yang paling banyak digunakan dalam berbagai analitis statistika.

Bentuk kurva distribusi normal Menyerupai lonceng (genta/bel). Merupakan suatu poligon yang dilicinkan yang mana ordinat (sumbu tegak) merupakan frekuensi dan absisnya (sumbu alas) memuat nilai variabel.Simetris dan Luas daerah sebelah kiri dan kanan mendekati 50%.

Penerapan distribusi normal Industri,Fenomena alam, Pengujian psikologi, Perdagangan, Tingkat pendapatan masyarakat.

B.Sifat dan Grafik Distribusi Normal

Sifat –sifat kurva distribusi normal adalah

·         Kurvanya mempunyai puncak yang tunggal

—  Modus terjadi pada x = μ (bisa juga dikatakan rata-rata μ tepat ditengah kurva tertinggi)

—  Kurva simetris terhadap x = μ

—  Kedua ujung kurva semakin mendekati sumbu mendatar bila nilai x bergerak menjauhi rata-rata μ (sumbu mendatar di sebut asimtot dari kurva normal)

—  Seluruh luas kurva normal di atas sumbu mendatar adalah 1 .

—  Simpangan baku σ menentukan bentuk kurva, semakin kecil σ akan semakin runcing juga kurvanya .

Grafik distribusi normal

Contoh:

Dari grafik di samping kita dapat nilai z Distribusi normalnya ialah =0,4332, ?

Jawab:

Cara mendapatkan nilai tabel Distribusi normal

BAB XI

Distribusi Sampel

A.      Pengertian dan konsep dasar distribusi Sampel

Keseluruhan pengamatan yang diteliti, Jika ada 2000 orang, maka populasinya berjumlah 2000 orang,Terbatas & tidak terbatas,Pengamatan populasi tidak praktis.

Populasi adalah banyaknya pengamatan, dua jenis populasi menurut ukurannya: terbatas (berhingga) dan tak terbatas (tak berhingga) Sifat/ciri dalam populasi disebut karakteristik populasi, hasil pengukuran karakteristik populasi disebut parameter populasi

Sensus adalah cara untuk mengumpulkan data populasi Kelemahan sensus: biaya mahal, waktu lama, tenaga yang besar Kelemahan sensus diatasi dengan teknik sampel (sampling)

Karakteristik sampel disebut statistic,Keuntungan teknik sampel     adalah biaya yang rendah serta waktu yang pendek tanpa mengurangi keakuratan

Sampel yang representatif memiliki ciri: ukuran tertentu yang memakai syarat, kesalahan terkecil, dan dipilih dengan prosedur yang benar berdasarkan teknik sampel tertentu.

Rumus-rumus distribusi Sampel

Rataaan  

Variansi

StandarDeviasi

Contoh:

Plat baja yang diprodusi oleh sebuah pabrik baja memiliki daya regang rata-rata 500 dan devisiasi standar sebesar 20. Jika sample random yang terdiri dari 100 plat dipilih dari populasi yang terdiri dari seratus ribu plat berapakah probabilitas rata rata sample kurang dari 496.

Jawab:

BAB XII

Pendugaan Parameter

A.      Pendugaan Parameter

Pendugaan adalah proses yang menggunakan sampel statistik untuk menduga atau menaksir hubungan parameter populasi yang tidak diketahui.

Pendugaan merupakan suatu pernyataan mengenai parameter populasi yang diketahui berdasarkan informasi dari sampel random yang diambil dari populasi bersangkutan.

Secara umum, parameter diberi lambang θ dan penduga diberi lambang xxx

Kriteria Penduga Yang Baik Ialah :

1. Tidak Bias
2. Efisien
3. Konsisten

·         Rumus untuk satu sampel

Penduga Rata – Rata Populasi (µ) :

Penduga Titik

 

Penduga Selang

Selang kepercayaan (1-a)100% bagi m

 Jika s² diketahui:      

Jika s2 tdk diketahui:

Contoh:

·         Rumus untuk dua sampel yang saling bebas

Penduga Beda Rata-rata Populasi (µ₁-µ₂) :

Penduga titik:

Dengan Standar Error :

Jika Ragam populasi satu (s₁² ) dan dua (s₂² ) diketahui

Jika ragam populasi tidak diketahui, tapi diasumsikan sama

Jika ragam populasi tidak diketahui, tapi diasumsikan ragam populasi tidak sama

·         Penduga Selang:

            Selang kepercayaan (1-a)100% : m1-m2

Jika s1 dan s2 diketahui :

Jika s₁ dan s₂ tdk diketahui dan diasumsikan sama:

 

Jika s1 dan s2 tdk diketahui dan diasumsikan tidak sama

 

Contoh:

Jawab:

Penduga Rata-rata populasi berpasangan (µ_d) :

 

·         Penduga Selang :

Selang kepercayaan (1-a)100% bagi m_d

Contoh:

BAB XIII 

Pengujian Hipotesis

A.      Pengertian Hipotesis

Hipotesis berasal dari bahasa Yunani yaitu:

Hupo yang berarti lemah atau kurang atau di bawah.

Thesis yang berarti teori atau pernyataan yang disajikan sebagai bukti.

Hipotesis dapat diartikan sebagai Suatu pernyataan yangmasih lemah kebenarannya dan perlu dibuktikan atau dugaan sementara.

Pengujian Hipotesis adalah suatu prosedur yang dilakukan dengan tujuan untuk memutuskan apakah menerima atau menolak hipotesis mengenai parameter populasi.

B.      Prosedur pengujian Hipotesis

Adapun prosedur pengujian hipotesis adalah sebagai berikut:

1.      Tentukan Formulasi Hipotesis

2.      Tentukan Taraf Nyata (Significant of Level)

3.      Tentukan Kriteria Pengujian

4.      Hitung Nilai Uji Statistik

5.      kesimpulan

1.      menentukan formulasi hipotesis

Hipotesis nol yaitu (H₀) dirumuskan sebagai pernyataan yang akan diuji. Rumusan pengujian hipotesis, hendaknya Ho dibuat pernyataan untuk ditolak

Hipotesis Alternatif / Tandingan (H₁)             dirumuskan sebagai lawan /tandingan hipotesis nol Bentuk Ha terdiri atas :

Ho ; q = qo                   Ha:q>qo
                                    Ha:q<qo
                                    Ha : q ≠ qo

2.      menentukan Taraf Nyata (Significant Level)

Taraf nyata (α) adalah besarnya toleransi dalam menerima kesalahan hasil hipotesis terhadap nilai parameter populasinya. Taraf nyata dalam bentuk % umumnya sebesar 1%, 5% dan 10% ditulis α 0,01; α 0,05 ; α 0,1. Besarnya kesalahan disebut sbg daerah kritis pengujian (critical region of a test) atau daerah penolakan (region of rejection).

3.      Kriteria Pengujian

4.      Hitung nilai uji statistik

Untuk menghitung nilai uji statistik kita dapat menggunakan rumus   

Ket :

x = rata-rata sampel

u₀ = Dugaan rata-rata populasi

σ = Simpangan baku populasi

n = Jumlah sampel

5.      Kesimpulan

Pembuatan kesimpulan merupakan penetapan keputusan dalam hal penerimaan atau penolakan hipotesis nol yang sesuai dengan kriteria pengujiannya.

Contoh:

Dari 100 nasabah bank rata-rata melakukan penarikan $495 per bulan melalui ATM, dengan simpangan baku = $45. Dengan taraf nyata 1%, ujilah jika rata-rata nasabah menarik melalu ATM kurang dari  $500 per bulan.

Penyelesaian

X = 495

U = 500

N = 100

s = 45

Taraf nyata pengujian = a = 1% = 0.01

Hitung uji statistik

                    =               =       = -1,11

Kesimpulan : H0 diterima, karena nilai Z lebih besar dari nilai Zα

Contoh 2:

Sebuah perusahaan alat olah raga mengembangkan jenis batang pancing sintetik, yang dikatakan mempunyai kekuatan dengan rata-rata 8 kg dan simpangan baku 0,5 kg. Ujilah hipotesa yang menyatakan bahwa rata-rata kekuatan batang pancing adalah 8 kg dengan alternative lebih besar dari 8 kg bila suatu sample 50 batang pancing itu setelah dites memberikan kekuatan rata-rata 8,4 kg.  Gunakan α = 5%.

Penyelesaian :

u = 8

s = 0.5

n = 50

x = 8,4

H₀ : μ = 8 kg

H₁ : μ > 8 kg

α = 5%, Z_α= 1,64 dari tabel normal

Kesimpulan : karna nilai z lebih besar dari dari Zα maka H0 ditolak